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Igualdad Trigonometrica sin(3x) = 3*sin(x) – 4*sin(x)^3

Desdoblando 3x en 2x+x, nos permite después aplicar la identidad de la suma

\(sin(3*x) = sin (2*x + x) \)

Según la identidad de la suma

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \)

resulta entonces:

\(= sin (2*x)* cos (x) + cos (2*x)* sin(x) \)

Según la identidad de ángulo doble

\(\cos(2 \alpha) = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 1 – 2 \cdot \sin^2 \alpha = 2 \cdot \cos^2 \alpha – 1 \) \(\sin(2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha\)

resulta entonces

\(= 2 *sin(x)* cos(x)* cos (x) + (1 – 2 *sin(x)^2) * sin(x) \)

Distributiva del último término

\(= 2 *sin(x)* cos(x)*cos(x) + sin(x) – 2 *sin(x)^3\)

reagrupando

\(= 2 *sin(x)* cos(x) ^2+ sin(x) – 2 * sin(x)^3\)

Dado que

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha= 1\) \(= 2 *sin(x)* (1 – sin(x)^2) + sin(x) – 2 * sin(x)^3\)

Propiedad distributiva y agrupando

\(= 2 *sin(x) – 2 *sin(x)^3 + sin(x) – 2 * sin(x)^3 \)

Agrupando

\(sin(3*x) =  3 *sin(x) – 4* sin(x)^3\)

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