Límite trigonométrico sin uso de L’Hôpital ni series

\lim_{ x\to 0 } \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{2 x^3}

Se suma y se resta x en el numerador,

\frac{x*cos(x)-x+x-sin(x)}{2*x^3}

Reagrupando,

\frac12*(\frac{cos(x)-1}{x^2}+\frac{x-sin(x)}{x^3})

Como el limite de una suma es la suma de los límites y de un producto, el producto de sus límites –>

\lim_{ x\to 0 }\frac12*(\frac{cos(x)-1}{x^2}+\frac{x-sin(x)}{x^3})

El 1/2 sale afuera por ser una constante y desarrollando cada término por separado, resulta:

1) \frac12 * (\lim_{ x\to 0 }\frac{cos(x)-1}{x^2}  + \lim_{ x\to 0 }\frac{x-sin(x)}{x^3})

\lim_{ x\to 0 }\frac{cos(x)-1}{x^2}

multiplicando y dividiendo por 1 + cos(x),

\lim_{ x\to 0 }\frac{cos(x)^2-1}{x^2*(1+cos(x))}

Ya que sin(x)2 + cos(x)2 = 1 –> cos2(x) –1 = –sin2(x),

\lim_{ x\to 0 }\frac{-sin(x)^2}{x^2*(1+cos(x))}

reagrupando

\lim_{ x\to 0 }\frac{-sin(x)^2}{x^2}*\frac{1}{1+cos(x)}

\lim_{ x\to 0 }\frac{-sin(x)^2}{x^2}*\lim_{ x\to 0 }\frac{1}{1+cos(x)}

El primer límite es igual a -1 y segundo límite es 1/2 para x->0

\lim_{ x\to 0 }\frac{cos(x)-1}{x^2}=-\frac12

Volviendo al segundo término de 1)

\lim_{ x\to 0 }\frac{x-sin(x)}{x^3}

reemplazando x=3X,

\lim_{ x\to 0 }\frac{3X-sin(3X)}{27X^3}

Dado que sin(3X) = 3.sin(X) – 4.sin3(X),

\lim_{ x\to 0 }\frac{3X-sin(X)+sin(X)^3}{27X^3}

\lim_{ x\to 0 }\frac{3X-sin(X)}{27*X^3}+\frac{4}{27}*\lim_{ x\to 0 }sin(X)^3}{X^3}

La primera expresión es el límite L en cuestión y la segunda es igual a 1 * 4/27,

L=\frac{3}{27}*L+\frac{4}{27}*1 => L = \frac{4}{24} = \frac16

Finalmente,

\frac12 * (\lim_{ x\to 0 }\frac{cos(x)-1}{x^2} + \lim_{ x\to 0 }\frac{x-sin(x)}{x^3})=\frac12(-\frac12+\frac16)=-\frac16

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