Igualdad Trigonometrica sin(3x) = 3*sin(x) – 4*sin(x)^3

Desdoblando 3x en 2x+x, nos permite después aplicar la identidad de la suma

sin(3*x) = sin (2*x + x)

Según la identidad de la suma

\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta

resulta entonces:

= sin (2*x)* cos (x) + cos (2*x)* sin(x)

Según la identidad de ángulo doble

\cos(2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2 \cdot \sin^2 \alpha = 2 \cdot \cos^2 \alpha - 1

\sin(2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha

resulta entonces

= 2 *sin(x)* cos(x)* cos (x) + (1 - 2 *sin(x)^2) * sin(x)

Distributiva del último término

= 2 *sin(x)* cos(x)*cos(x) + sin(x) - 2 *sin(x)^3

reagrupando

= 2 *sin(x)* cos(x) ^2+ sin(x) - 2 * sin(x)^3

Dado que

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha= 1

= 2 *sin(x)* (1 - sin(x)^2) + sin(x) - 2 * sin(x)^3

Propiedad distributiva y agrupando

= 2 *sin(x) - 2 *sin(x)^3 + sin(x) - 2 * sin(x)^3

Agrupando

sin(3*x) = 3 *sin(x) - 4* sin(x)^3

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