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Los cuerpos Fractálicos y la Geometría del Caos

geometria fractalica caso fractalesBenoit Mandelbrot, matemático polaco, es conocido por sus trabajos sobre fractales. Lo descubrí cuando leí en 1985 el artículo en Inverstigación y Ciencia y quedé fascinado con la complejidad de la figura solamente generada por la simple formula z2 + c.

Esta fórmula involucra números en el campo complejo donde el conjunto de Mandelbrot es la representación en colores de lo que ocurre con el módulo del número complejo resultante de la iteración de la fórmula.

Recuerdo que tomé mi computadora Commodore 128 e implementé el algoritmo que posteriormente mejoré al hacerlo trabajar con números enteros para aumentar su velocidad. Solo disponía en aquel entonces de una impresora de matriz de puntos.

He aquí la explicación publicada por IyC sobre este conjunto tan peculiar:

Consideremos la siguiente función compleja:

f(z) = z2 + c,

donde c es un parámetro. El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de todos los puntos c del plano complejo para los cuales la siguiente sucesión:

0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), …

no diverge. Por ejemplo, es inmediato ver que c=0 pertenece al conjunto. Y es fácil convencerse de que c=–1 o c=i también, pero que c=1 ya no. En principio, para cada punto c del plano complejo habría que considerar la sucesión correspondiente y calcular si la misma diverge o no. Supongamos que hacemos esto para cada punto del plano complejo y que decidimos pintar de negro todos los puntos que pertenecen al conjunto. ¿Qué aspecto tendría el resultado?

Puede demostrarse que el conjunto de Mandelbrot es compacto (es decir, que para pintarlo no necesitaríamos una cantidad infinita de pintura) y conexo (podríamos pintarlo sin necesidad levantar la brocha del plano en ningún momento). Su aspecto viene a ser algo así:8583

La frontera del conjunto parece muy intrincada. Esa línea, con sus infinitos «pelillos», ramificaciones y subramificaciones, es lo que se conoce como fractal de Mandelbrot.

La belleza del fractal se pone de manifiesto cuando intentamos determinar con más y más precisión la geometría de esa curva. ¿Qué ocurriría si tomáramos una lupa para examinar cada vez con mayor detalle la forma de sus ramificaciones? Veríamos que su forma es infinitamente complicada; tanto que, de hecho, cada vez aparecen figuras nuevas. El siguiente video lo ilustra:

Los puntos que pertenecen al conjunto son aquellos pintados de negro. Los colores que se les han asignado al resto constituyen un efecto visual para resaltar la geometría del fractal.

La imagen que aparece al final del vídeo no significa que esos sean los detalles más finos del fractal; solo indica el momento en que el programa de ordenador ha detenido sus cálculos. Sin embargo, la complejidad en los detalles jamás deja de crecer. Una infinidad de formas nuevas sigue esperando a todo aquel que tenga paciencia para calcularlas.

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