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Factor de Escala Cosmologica

Dada la expansión del universo, la posición de un objeto es función del tiempo.

\(P_{(t)} = P_0*a_{(t)}\)

\(P_0\) posición inicial

\(a_{(t)}\) es el factor de escala. Definido en \(t_0\) (momento actual) en 1.

Relación con el corrimiento al rojo.

Por la expansión del universo, se genera un corrimiento hacia el rojo debido a que las distancias se agrandan debido al mismo según \(a_{(t)}\). Por tanto:

z= ∆λ/λe      y    λt = λ0.a(t)       

donde λe= longitud de onda al momento de la emisión

de ambas resulta –> \(z = \frac{\lambda_0 – \lambda_0*a_{(t)}}{\lambda_0*a_{(t)}} = \frac{1-a(t)}{a_{(t)}}\)  

\(a_{(t)} = \frac{1}{1+z}\)

Por ejemplo, si un objeto tiene actualmente una coordenada x,y,z 3,6,9 y anteriormente estuvo en 1,2,3. a(t) resulta 1/3 ya que

\(P_{(t)} = P_0*a_{(t)}\)    entonces z es

\(z= \frac{1-a_{(t)}}{a_{(t)}} = \frac{1-1/3}{1/3} = 2\)

Relación de densidad y corrimiento al rojo

ρ = masa/volumen   ;     volumen es a3 si consideramos un cubo donde sus lados son el factor de escala, si la masa se mantiene constante, entonces se cancelan al dividir la densidad actual con la calculada. (si consideráramos una esfera cuyo volumen también es proporcional al cubo del radio, resulta equivalente). Informativamente, la densidad del universo se estima en 5*10-28 kg/m3

\(\frac{\rho_1}{\rho_0} = \frac{1+z_1}{(1+z_0)^3}\)       como z0 es 1 (actual) =>

\(\frac{\rho_1}{\rho_0} = (1+z)^3\)

Nucleosíntesis primordial

En los primeros segundos después del big bang, la densidad y energía posibilitaban la fusión, pero los fotones existentes tenían energía suficiente para arrancar los electrones de los hidrógenos que se formaban. Esta energía se fue disipando hasta que no lograron romper el hidrógeno el cual también formó helio y para ese entonces, unos 90 segundos después del big bang, comenzó la reacción de fusión dejando un 25% de helio y un 75% de hidrógeno y algunos rastros de litio y deuterio. Relación que aún predomina en la masa actual del universo.

Por otro lado, los fotones de alta energía son capaces de convertirse en masa según E=mc2. Así un fotón  puede crear un electrón y un positrón los cuales después se aniquilan produciendo nuevamente un fotón. Hay 1.109 de fotones por cada partícula. Posteriormente los fotones van perdiendo energía y ya no logran crear más partículas. Aparentemente una en un billón no se volvieron a aniquilar.

Al no existir antimateria, se sigue buscando una reacción por la cual las partículas se aniquilen con las antipartículas y quede 1 en 1.109 partes de materia. Con eso se podría justificar la materia del universo.

Cuál sería la edad, densidad y temperatura del universo al momento de que los fotones produjeran electrones-positrones?

La energía del fotón debe ser suficiente para  producir ambas partículas,

\(m_e = m_p = 9.1*10^{-31} kg\)  ;  \(E=mc^2\)

\(E=1.6*10^{-13} J = 10^6 eV\)

Actualmente la energía promedio de un fotón está en 10-3 eV, por tanto:

\(E_{(t)} = \frac{10^{-3}}{a_{(t)}}\)   =>   \(a(t) = 10^{-9}\)

Por lo que el universo era mil millones de veces más denso de lo que es ahora

\(z = \frac{1-a_{(t)}}{a_{(t)}} = 10^9\)

La densidad es inversamente proporcional al cubo del factor de escala y la densidad aproximada actual es de 5*10-28kg/m3

\(\rho \propto \frac{1}{a_{(t)}^3}\)   ;   \(\rho_0 \sim 5*10^{-28} kg/m^3\)

\(\rho \simeq 0.5 kg/m^3\)

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