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Distancia a una Galaxia

Definiendo t0 como el tiempo presente y te el momento en que la luz fue emitida por la galaxia, calculemos entonces la distancia física a la misma. Dado que la velocidad de la luz al recorrer el espacio en expansión varía con el tiempo que depende del factor de escala a(t) resulta:

\(Velocidad = \frac{dx}{dt} = \frac{c}{a(t)}\)

Como la velocidad no es constante, la distancia está dada por una integral de v en el tiempo y NO por la multiplicación de la velocidad por el tiempo

\(Distancia = l_c = \int_{t_e}^{t_0} \frac{c}{a(t)} dt\)

El factor de escala a(t) = b.t2/3 donde b es una constante arbitraria de proporcionalidad. Por tanto:

\(l_c = 3ct_0 \begin{bmatrix}1-(\frac{t_e}{t_0})^{1/3}\end{bmatrix}\) (1)

\(1+z=\frac{bt_0^{2/3}}{bt_e^{2/3}}  \Rightarrow z=(\frac{t_0}{t_e})^{2/3}-1\)

La relación entre tiempos se puede expresar en términos de z:

\(\frac{t_e}{t_0} = (1+x)^{-3/2}\)

De (1)

\(l_p(t_0) = 3ct_0 \begin{bmatrix}1-(\frac{t_e}{t_0})^{1/3}\end{bmatrix}\)

y

\(H=\frac{\dot{a}}a = \frac{\frac23bt^{{-1}/3}}{bt^{2/3}}=\frac2{3t}\)

resulta,

\(t_0=\frac23H_0^{-1}\)

y conjuntamente con

\((\frac{t_e}{t_0})^{1/3}=\frac1{\sqrt{1+z}}\)

finalmente,

\(l_p(t_0) = 2cH_0^{-1} \begin{bmatrix}1-\frac1{\sqrt{1+z}}\end{bmatrix}\)

Numéricamente una Galaxia con un z=6.68, asumiendo H-1=2×1010 años, está a 2.56×1010 años luz de distancia.

Velocidad de Recesión

La galaxia permanecerá a en una coordenada constante a una distancia lc, pero si distancia física será dada por:

\(Distancia = l_p = a(t) l_c\)

La variación de la distancia física está dada por la ley de Hubble

\(v_p(t)  \equiv \frac{dl_p}{dt} =  \dot{a} l_c = H(t)l_p(t)\)

donde

\(H(t) = \frac{\dot{a}}{a}\)

entonces

\(v_p(t)  = H_0l_p(t_0) = 2c \begin{bmatrix}1-\frac1{\sqrt{1+z}} \end{bmatrix}\)

Para el caso de un corrimiento al rojo de 6.28, resulta vp = 1.26c

Este resultado indica una velocidad superior a la de la luz lo que no se contradice con la teoría de la relatividad ya que “localmente” no se puede superar la misma pero cuando la curvatura del universo aparece en las grandes distancias y la velocidad de recesión se hace tangible, esto puede ocurrir.

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