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Teorema de conservación de la energía mecánica

Teorema de las fuerzas vivas

Se define el trabajo elemental realizado por una fuerza \mathbf{F} sobre una partícula que realiza un desplazamiento diferencial \mathrm{d}\mathbf{r} como la cantidad escalar

\delta W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
 

El trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C es igual a la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \delta W=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

Se define asimismo la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo dt, dividido por dicho intervalo

P=\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}

Aplicando la segunda ley de Newton la potencia desarrollada por una fuerza puede escribirse como la derivada respecto al tiempo de la energía cinética

P=\mathrm{m}\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=m\mathbf{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}

siendo K la energía cinética de la partícula

K=\frac{1}{2}mv^2

(donde v^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} es el módulo de la velocidad, o celeridad, al cuadrado).

Integrando respecto al tiempo obtenemos el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética):

W_{A\to B}=\int_A^B P\,\mathrm{d}t=\Delta K=K_B-K_A

En palabras:

El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos equivale al incremento de la energía cinética de dicha partícula.
El trabajo realizado no tiene por qué ser necesariamente positivo. Si la partícula se ve frenada, su energía cinética disminuye y el trabajo resultante es negativo.

Este teorema implica, entre otras resultados, que una partícula sometida a una fuerza puramente normal en todo momento (como es la fuerza magnética \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}) mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).

Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

W_{A\to B}=\int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

donde la integral se calcula por un camino arbitrario.

Esto nos permite definir la energía potencial de la cual deriva la fuerza conservativa como

U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

donde \mathbf{r}_0 es un punto fijo, conocido como origen de potencial para el cual la energía potencial es nula.

Para el caso de fuerzas conservativas puede enunciarse un teorema complementario al teorema de las fuerzas vivas.

A la hora de calcular el trabajo realizado por una fuerza conservativa para ir de un punto A a uno B podemos elegir un camino que pase por el origen de potencial. De esta forma, podemos expresar el trabajo como diferencia entre dos energías potenciales

W_{A\to B}=U(A)-U(B)=-\Delta U\,

esto es:

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al decremento de su energía potencial.

Combinando este teorema con el de las fuerzas vivas se llega al teorema de conservación de la energía mecánica.

Si consideramos la variación instantánea de la energía potencial llegamos a la siguiente relación para fuerzas conservativas

\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=-\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}

Teorema de conservación de la energía mecánica

Combinando el teorema de las fuerzas vivas con el de la energía potencial obtenemos que, cuando todas las fuerzas son conservativas

-\Delta U=U(A) - U(B)=W_{A\to B}=K(B) - K(A)=\Delta K\,

esto es, la que disminuye la energía potencial es igual a lo que aumenta la energía cinética (o viceversa).

Reagrupando términos y definiendo la energía mecánica de la partícula como la suma de su energía cinética más la potencial obtenemos

E(A)=K(A) + U(A)=K(B) + U(B)=E(B)=\mathrm{cte}\,

lo que se conoce como teorema de conservación de la energía mecánica:

En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica de una partícula permanece constante.

Este teorema deja de cumplirse cuando sobre la partícula actúan fuerzas no conservativas, como el rozamiento. Las fuerzas que reducen la energía mecánica (normalmente transformándola en calor) se conocen como fuerzas disipativas.

La constancia de la energía mecánica puede expresarse en forma de derivada temporal

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(K+U)=0

Ejemplos

Caída de un cuerpo

Supongamos un cuerpo que cae verticalmente desde una cierta altura h. Nos preguntamos por su velocidad al llegar al suelo, si parte del reposo y no hay rozamiento.

Puesto que la única fuerza que actúa es el peso y ésta es conservativa, la energía mecánica es constante, por lo que

\frac{1}{2}mv^2+mgz=E=\mathrm{cte}

Igualando su valor inicial (en donde es nula la energía cinética) y el suelo (donde lo es la potencial) nos queda

\frac{1}{2}m\cdot 0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_f^2+mg\cdot 0\qquad\Rightarrow\qquad v_f = \sqrt{2gh}

Si la masa no cae verticalmente, sino que desliza por un plano inclinado o es obligada a moverse por una curva o superficie sin rozamiento, el resultado es exactamente el mismo, ya que la fuerza de reacción vincular debida a un vínculo liso es normal a la curva o superficie que la produce. Por tanto, estas fuerzas de reacción ni quitan ni añaden nada a la energía mecánica.

Oscilador armónico

En el caso del oscilador armónico unidimensional la solución general para la elongación y la velocidad puede escribirse en la forma

x = A \cos(\omega t+\phi)\, v = -A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t + \phi)

A partir de aquí obtenemos la energía cinética

K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\mathrm{sen}^2(\omega t + \phi)

y la potencial

U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k A^2\cos^2(\omega t + \phi)

La energía mecánica del oscilador, teniendo en cuenta que k = mω2 es

E = K + U = \frac{1}{2}kA^2\left(\cos^2(\omega t+\phi)+\,\mathrm{sen}^2(\omega t + \phi)\right) = \frac{1}{2}kA^2

Resulta una energía mecánica, por supuesto constante, proporcional al cuadrado de la amplitud. Representando las energías cinética, potencial y mecánica frente al tiempo para el oscilador armónico vemos que las dos primeras son funciones oscilantes, mientras que la energía mecánica, suma de las dos, permanece constante. Desde el punto de vista energético, un oscilador armónico transforma alternativamente energía cinética en potencial y viceversa.

La frecuencia con la que oscila cada energía es el doble de la frecuencia con la que oscila la elongación. La energía potencial pasa de un máximo, cuando la elongación vale + A a valer 0, cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, y de ahí vuelve aun máximo cuando x = − A.

Velocidad de escape

La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero para salir del campo gravitatorio de otro masivo.

Esta velocidad mínima es la que permite llegar al infinito con velocidad nula. Una velocidad menor no permitiría salir del “pozo” de energía potencial gravitatoria.

La energía mecánica de una partícula en un campo gravitatorio es

E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

Imponiendo que v\to 0 cuando r\to\infty queda

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

Aquí r es la distancia de partida. En el caso de un cohete que parte de la superficie terrestre r = RT. El valor de GM lo podemos obtener del valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre

g = \frac{GM}{R_T^2} \Rightarrow v = \sqrt{2gR_T}\simeq 11.2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}

Esta es la velocidad necesaria para salir del campo gravitatorio terrestre. Aparte habrá que comunicarle la velocidad necesaria para enviarlo al destino deseado, teniendo en cuenta la energía potencial gravitatoria debida al Sol.

Presencia de fuerzas no conservativas

Si sobre una partícula actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, las consideramos por separado

\mathbf{F}=\mathbf{F}_\mathrm{c}+\mathbf{F}_\mathrm{nc}\, \Rightarrow \delta W = \mathbf{F}_\mathrm{c}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}+\mathbf{F}_\mathrm{c}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

Integrando y aplicando el teorema de las fuerzas vivas

\Delta K = W_\mathrm{c}+W_\mathrm{nc}\,

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de su energía potencial

\Delta K = -\Delta U + W_\mathrm{nc}\,

Agrupando términos resulta que el incremento de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas

ΔE = Wnc

En el caso particular de una fuerza de rozamiento, este trabajo es negativo y la energía mecánica disminuye como consecuencia de la fricción.

Si en lugar de considerar un incremento finito, calculamos la derivada respecto al tiempo obtenemos

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=P_\mathrm{nc}

esto es, la derivada de la energía mecánica es la potencia desarrollada por las fuerzas no conservativas.

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