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Metrica de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker

La métrica FLRW parte de la base de la homogeneidad e Isotropía. A su vez, la métrica depende del tiempo donde participa el factor de escala que involucra la expansión del universo. Así mismo incorpora k que representa la curvatura la cual es independiente del tiempo.

\(\delta s^2 = -\delta t^2 + a(t)^2(\frac{\delta r2}{1-kr^2}+r^2\delta \theta ^2   + r^2sin^2 \theta \delta \phi ^2 )\)

 

Una forma de visualizar cómo actúa la curvatura es calcular pi en los diferentes escenarios.

\(\delta s^2=a(t)^2r^2\delta \theta ^2\) diferencial de arco

\(\delta s=a(t)^2r\delta \theta \)  raiz cuadrada en ambos términos

\(c= \int_0^{2 \pi} a(t)r_0 d \theta \) Integrando, circunsferencia

\(c= ar_0\int_0^{2 \pi} d \theta  = a(t)r_0[ \theta ]_0^{2 \pi }\) entre 0 y 2 pi

\(c=2 \pi r_0a(t)\) resultando depender del factor de escala a.

Por otro lado, el diámetro, surge de:

\(d = 2 \int_0^{r_0} {\frac{a(t)}{ \sqrt{1-kr^2} }}  dr\) diámetro

resultando de la forma \(2(a) arcsin(r_0)\)   para k=1

y \(2(a) arcsinh(r_0)\) para k=-1

\( \pi = \frac{\pi _0r_0}{arcsin(h)r_0}\)  de \( \pi = \frac{c}{d}\)

 

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