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Matriz Inversa

La definición de la inversa nos dice que A.A-1=I donde I es la matriz identidad.

Se expande la matriz a invertir hacia la derecha con la matriz identidad.

Dado que una matriz es equivalente si una fila o columna es combinación lineal de las otras, se opera las filas para que queden 1s en su diagonal y posteriormente para que quede una matriz identidad del lado izquierdo.

La matriz resultante del lado derecho termina siendo la inversa.

\(\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}1 & 3 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\1 & 4 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 3 & 4 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

 

R2 = R2 – R1 ; R3 = R3 – R1

\(\begin{bmatrix}1 & 3 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

 

R1 = R1 – 3R3

\(\begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & | & 4 & -3 & 0 \\0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

 

R1 = R1 – 3R2

\(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & 7 & -3 & -3 \\0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

 

resultando la matriz inversa:

\(\begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\-1 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

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